벡터 공간은 그 객체의 본질이 아니라, 그 객체들이 어떻게 작동하는지에 따라 정의되는 엄격한 수학적 '놀이터'입니다. $\mathbf{R}^n$의 화살표든, $\mathbf{M}$의 행렬이든, 연속 함수이든 모두 동일한 규칙이 적용됩니다.
공간의 여덟 공리
어떤 객체들의 집합이 이 기본적인 규칙들을 따르면, 벡터 공간이 됩니다:
- 1. 교환법칙: $x + y = y + x$
- 2. 결합법칙: $x + (y + z) = (x + y) + z$
- 3. 영벡터: 모든 $x$에 대해 $x + 0 = x$를 만족하는 유일한 $0$이 존재한다
- 4. 역원: 각 $x$에 대해 $x + (-x) = 0$을 만족하는 유일한 $-x$가 존재한다
- 5. 항등원: $1x = x$
- 6. 스칼라 결합법칙: $(c_1c_2)x = c_1(c_2x)$
- 7. 분배법칙 (I): $c(x + y) = cx + cy$
- 8. 분배법칙 (II): $(c_1 + c_2)x = c_1x + c_2x$
부분공간의 정의
$V$의 부분공간 $S$는 큰 공간의 연산에 대해 "닫혀 있는" 부분집합입니다. 부분집합의 원소들을 더하거나 스케일링해도, 그 부분집합에서 벗어날 수 없습니다.
닫힘 정리
모든 $v, w \in S$와 모든 스칼라 $c, d$에 대해, 다음 조건을 만족할 때만 부분집합 $S$는 부분공간입니다:
$$cv + dw \in S$$
이는 $0 \cdot v = 0$이므로, $S$는 반드시 영벡터($0 \in S$)를 포함해야 한다는 것을 의미합니다.생성과 합
그리고 생성 집합 $S$의 생성은 $S$의 모든 벡터를 포함하는 가장 작은 부분공간입니다:
$$SS = \text{모든 } c_1v_1 + \dots + c_nv_n$$
또한 두 부분공간 $S$와 $T$가 주어졌을 때, 그들의 합 $S + T$ (모든 벡터 $s+t$를 포함)는 새로운 부분공간을 형성합니다. 단, 합집합 $S \cup T$는 거의 절대 부분공간이 아닙니다!
🎯 "영벡터" 검사법
부분공간이 될 수 없음을 빠르게 판단하는 방법은 영벡터를 확인하는 것입니다. 만약 $x=0$이 포함되어 있지 않다면, 부분공간이 될 수 없습니다. 일반적인 함정으로는 원점에서 이동된 평면이나 음수 값을 제외하는 사분면 등이 있습니다.